Matemática discreta Ejemplos

$5000 = \frac{100 ({(1.01)}^{n} - 1)}{0.01}$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $0.01$ .

$5000 \cdot 0.01 = \frac{100 ({1.01}^{n} - 1)}{0.01} \cdot 0.01$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Multiplica $5000$ por $0.01$ .

$50 = \frac{100 ({1.01}^{n} - 1)}{0.01} \cdot 0.01$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Simplifica $\frac{100 ({1.01}^{n} - 1)}{0.01} \cdot 0.01$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $0.01$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$50 = \frac{100 ({1.01}^{n} - 1)}{0.01} \cdot 0.01$

Paso 2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$50 = 100 ({1.01}^{n} - 1)$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$50 = 100 \cdot {1.01}^{n} + 100 \cdot - 1$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $100$ por $- 1$ .

$50 = 100 \cdot {1.01}^{n} - 100$

Paso 3

Resuelve $n$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $100 \cdot {1.01}^{n} - 100 = 50$ .

$100 \cdot {1.01}^{n} - 100 = 50$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $n$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Suma $100$ a ambos lados de la ecuación.

$100 \cdot {1.01}^{n} = 50 + 100$

Paso 3.2.2

Suma $50$ y $100$ .

$100 \cdot {1.01}^{n} = 150$

Paso 3.3

Divide cada término en $100 \cdot {1.01}^{n} = 150$ por $100$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $100 \cdot {1.01}^{n} = 150$ por $100$ .

$\frac{100 \cdot {1.01}^{n}}{100} = \frac{150}{100}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $100$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{100 \cdot {1.01}^{n}}{100} = \frac{150}{100}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide ${1.01}^{n}$ por $1$ .

${1.01}^{n} = \frac{150}{100}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $150$ y $100$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $50$ de $150$ .

${1.01}^{n} = \frac{50 (3)}{100}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $50$ de $100$ .

${1.01}^{n} = \frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 2}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

${1.01}^{n} = \frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 2}$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

${1.01}^{n} = \frac{3}{2}$

Paso 3.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({1.01}^{n}) = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 3.5

Expande $\ln ({1.01}^{n})$ ; para ello, mueve $n$ fuera del logaritmo.

$n \ln (1.01) = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 3.6

Divide cada término en $n \ln (1.01) = \ln (\frac{3}{2})$ por $\ln (1.01)$ y simplifica.

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Paso 3.6.1

Divide cada término en $n \ln (1.01) = \ln (\frac{3}{2})$ por $\ln (1.01)$ .

$\frac{n \ln (1.01)}{\ln (1.01)} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (1.01)}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $\ln (1.01)$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{n \ln (1.01)}{\ln (1.01)} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (1.01)}$

Paso 3.6.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (1.01)}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$n = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (1.01)}$

Forma decimal:

$n = 40.74890715 \dots$